フーリエ変換・ラプラス変換　平成１４年度　応用化学科３年生

ある学生の質問から

ラプラス変換をして　ラプラス逆変換の公式を当てはめるため
分数の和に変換するとき、どうしてそうなるのかという質問をされました。

分母の形が 1/｛(S+2)(S+1)(S+1)｝となっているとき、
1/(S+2)，　1/(S+1)，　1/｛(S+1)(S+1)｝の各項の和に変換するのは
どうしてそうなるのかというわけです。
質問をした人は　1/(S+2)　と　1/(S+1)だけでいいのではないかというのです。
　1/｛(S+1)(S+1)｝の項は不要と思っていたようです。

問題5.1をやってみましたが解けませんでした。
(1)で両辺をラプラス変換して
　　SX-1+X=1/S+1
X=(S+2)/(S+1)(S+1)
=A/(S+1)+B/(S+1)
となってA,Bが求められませんでした。

これに対して理学部数学科の卒業生の方から、次のようなコメントをいただきました。

分母が（S+１）の二乗の場合、
１を除く、それの約数である（S+１）と（S+１）の二乗を考えると言うことだと思うのですが。
すでに既約な分数を変形するわけですから、変形したものを通分したときに、
分母に左辺と同じ形が出てこないといけないですよね。
Ｋ君のように両方とも（S+１）では、右辺を通分したときに次数が合わないですし、
分ける意味がないです。

たとえば、1/｛(S+1)(S+2)｝のような項が現れるとしても、それは1/(S+1)と1/(S+2)に分解できるので、
分母は結局(S+1)や(S+2)の累乗の形のものだけを考えておけばよいということになりますよね。
もし、分母が(S+1)(S+2)の二乗のときは、
A/(S+1)とB/(S+2)とC/(S+2)の二乗　を考えればよいということではないでしょうか？