フェルメールの贋作

第二次大戦中に、数多くの美術品がナチスに売られた。
戦後にそういうナチス協力者の一人として、オランダの三流画家
ファン・メーヘレンが逮捕された。
彼は、フェルメールの作である「キリストと悔恨の女」を画商を通じて
ゲーリングに売ったことで、ナチスへの協力の罪を問われたのである。
ところが彼は美術界を驚かせる発言をした。
つまり、彼はフェルメールの「キリストと悔恨の女」や「エマオのキリスト」をはじめ
その他フェルメールによるとされた４つの作品を自分で描いたと告白したのだ。
権威ある美術家の鑑定により、それらの作品はフェルメールの作であるとされていたから
当初彼の主張は相手にされなかったが、彼は自分の技量を証明するため
獄中で絵を描き出した。
作品が完成間際になると、ナチスへの協力の罪より贋作の罪の方が
重くなりそうなことを知って中止してしまった。
(別の本には、贋作の罪で１年の実刑判決が出され判決２ヶ月後に病死したと書かれてある)

フェルメールのいたころのオランダはフランスに攻められて（1672）、
経済が悪化し、フェルメールの絵は売れず、病気と多額の借金のため
フェルメールは４３歳で死亡する。後には１１人の子どもと未亡人が残された。
もともと寡作画家であるフェルメールは、３３〜３６点の作品が現在確認されている。

はたしてその絵は贋作か本物か。この問題を微分方程式を使って解いてみよう。
放射性崩壊の微分方程式のモデルを次のように仮定する。
　　　　ｄｙ／ｄｔ＝−λｙ＋ｒ（ｔ）　　　　崩壊定数　λ＞０
ここで　ｙ（ｔ）＝時刻ｔにおける通常の鉛１ｇごとの白鉛（Ｐｂ²¹⁰）の量
　　　　ｙ（ｔ₀）＝ｙ₀　　ｔ₀は製造の時刻
　　　　ｒ（ｔ）＝通常の鉛の中における毎分１ｇごとのラジウム２２６（Ｒａ²²⁶）の崩壊定数である。
白鉛（Ｐｂ²¹⁰は２２年の半減期をもつ放射性物質であり、
ほとんどの絵に使われる重要な顔料である。
顔料には半減期１６００年のラジウム２２６（Ｒａ²²⁶）も含まれる。
そして顔料の中で白鉛（Ｐｂ²¹⁰）とラジウム２２６（Ｒａ²²⁶）は平衡状態になっている。

さて、この微分方程式を解くと次の解が得られる。
　　　　ｙ（ｔ）＝ｅ^−λｔ∫ｅ^λｔｒ（ｔ）ｄｔ＋Ａｅ^−λｔ
　ここでＡは積分定数である。
　もしｒが定数なら
　　　　ｙ（ｔ）＝ｅ^−λｔｒｅ^λｔ／λ＋Ａｅ^−λｔ
　　　　　　　　＝ｒ／λ＋Ａｅ^−λｔ
となりｔ＝ｔ₀のとき
　　　　ｙ（ｔ₀）＝ｙ₀＝ｒ／λ＋Ａｅ^−λｔ
より　　　　Ａ＝ｅ^λｔ0（ｙ₀−ｒ／λ）
したがって、解は次のようになる。
　　　　ｙ（ｔ）＝ｒ／λ＋（ｙ₀−ｒ／λ）ｅ^{−λ(ｔ-t0)}
そして、ラジウム２２６の半減期１６００年に対して、フェルメールの絵かどうか
は３５０年くらいの話なので、１６００年の半減期に対してラジウム２２６は
ほとんど崩壊しないと考えられるから、ラジウム２２６の崩壊数ｒは定数と考えられる。

λｙ₀＝Ｒ　　Ｒは通常の鉛１ｇごとのラジウム２２６の崩壊数である。
地球上の色々な鉱石からＲを測定すると、０から２００までの範囲の値をとることがわかっている。
もし絵が贋作でなく、約３００年前に実際に描かれたものとしよう。
そのときはｔ−ｔ₀＝３００としてλｙ₀を求めることができる。
すなわち
　　　λｙ₀＝λｙｅ^300λ−ｒ（^300λ−１）
　ここで　λ＝3.151＊10⁻²である。
もし　λｙ₀の値が２００よりはるかに大きいものは確実に贋作となる。
「エマオの弟子たち」について測定すると
　　λｙ＝８．５
　　ｒ＝０．８
なので　　λｙ₀＝９８１４７となり
２００をはるかに越えてしまう。したがって絵は贋作である。