熱伝導方程式
　　Heat conductive equation

　熱伝導方程式（拡散方程式）
　∂ｕ／∂ｔ＝ｃ^２∂^２ｕ／∂ｘ^２

　境界条件　　　ｕ（０，ｔ）＝ｕ（ｌ，ｔ）＝０
　初期条件　　　ｕ（ｘ，０）＝ｆ（ｘ）

これに対して、変数分離解を仮定する。
　　　　　ｕ（ｘ，ｔ）＝Ｘ（ｘ）Ｔ（ｔ）
　この解を元の偏微分方程式に代入すれば
　　　Ｘ（ｘ）Ｔ'（ｔ）＝ｃ^２Ｘ''（ｘ）Ｔ（ｔ）
　これより
　　　Ｔ'（ｔ）／ｃ^２Ｔ（ｔ）＝Ｘ''（ｘ）／Ｘ（ｘ）
　となるから、この式を　−λ^２とおけば
　　　Ｔ'（ｔ）／ｃ^２Ｔ（ｔ）＝Ｘ''（ｘ）／Ｘ（ｘ）＝−λ^２
　となり、下記の２式が得られる。
　　　Ｘ''（ｘ）＋λ^２Ｘ（ｘ）＝０
　　　Ｔ'（ｔ）＋λ^２ｃ^２Ｔ（ｔ）＝０

この場合に境界条件は次のようになる。
　　　　　Ｘ（０）＝Ｘ（ｌ）＝０
　この境界条件を満たす方程式の解は、次のように与えられる。
　　　　　Ｘ＝Ｘ_ｎ（ｘ）＝ｓｉｎ（ｎπｘ／ｌ）　　　　（ｎ＝１，２，．．．）
　また、もう一つの方程式の解は、次のように与えられる。
　　　　　Ｔ＝Ｔ_ｎ（ｔ）＝ｅｘｐ｛−（ｎπｃ／ｌ）^２ｔ｝　　　　（ｎ＝１，２，．．．）

したがって、重ね合わせの原理により
　　ｕ（ｘ，ｔ）＝ΣＡ_ｎＸ_ｎ（ｘ）Ｔ_ｎ（ｔ）
　　　　　　　　＝ΣＡ_ｎｓｉｎ（ｎπｘ／ｌ）ｅｘｐ｛−（ｎπｃ／ｌ）^２ｔ｝

　さらに初期条件を考慮して
　　　ｕ（ｘ，０）＝ΣＡ_ｎｓｉｎ（ｎπｘ／ｌ）＝ｆ（ｘ）

　ここで　Ａ_ｎを求めるため、第２項と第３項にそれぞれ
　　ｓｉｎ（ｍπｘ／ｌ）をかけて、０から　ｌ まで積分する。

　∫ｓｉｎ（ｍπｘ／ｌ）ΣＡ_ｎｓｉｎ（ｎπｘ／ｌ）ｄｘ
　　　　＝∫ｓｉｎ（ｍπｘ／ｌ）ｆ（ｘ）ｄｘ
　　　　　あるいは
　ΣＡ_ｎ∫ｓｉｎ（ｍπｘ／ｌ）ｓｉｎ（ｎπｘ／ｌ）ｄｘ
　　　　＝∫ｆ（ｘ）ｓｉｎ（ｍπｘ／ｌ）ｄｘ

　左辺の∫ｓｉｎ（ｍπｘ／ｌ）ｓｉｎ（ｎπｘ／ｌ）ｄｘの積分計算は次のようになる。
　　∫ｓｉｎ（ｍπｘ／ｌ）ｓｉｎ（ｎπｘ／ｌ）ｄｘ
　　＝∫−（１／２）｛ｃｏｓ（（ｍ＋ｎ）πｘ／ｌ）−ｃｏｓ（（ｍ−ｎ）πｘ／ｌ）｝ｄｘ
　　＝−（１／２）∫ｃｏｓ（（ｍ＋ｎ）πｘ／ｌ）ｄｘ＋（１／２）∫ｃｏｓ（（ｍ−ｎ）πｘ／ｌ）ｄｘ
　　＝−（１／２）（ｌ／（ｍ＋ｎ）π）〔ｓｉｎ（（ｍ＋ｎ）πｘ／ｌ〕＋（１／２）（ｌ／（ｍ−ｎ）π）〔ｓｉｎ（（ｍ−ｎ）πｘ／ｌ）〕＋（１／２）∫ｃｏｓ（０／ｌ）ｄｘ
　　　　ここで、第２項はｍ≠ｎのときに、第３項はｍ＝ｎのときにそれぞれ対応する。
　　　　そうすれば、第１項と第２項の積分は０からｌまで行えば、それぞれ０となる。
　　　　そして第３項の積分はｌ／２となる。

　つまり
　ΣＡ_ｎ∫ｓｉｎ（ｍπｘ／ｌ）ｓｉｎ（ｎπｘ／ｌ）ｄｘ
　は　ｍ＝ｎのときだけ残り
　ΣＡ_ｎ∫ｓｉｎ（ｍπｘ／ｌ）ｓｉｎ（ｎπｘ／ｌ）ｄｘ＝Ａ_ｍｌ／２＝Ａ_ｎｌ／２
　したがって　Ａ_ｎｌ／２＝∫ｆ（ｘ）ｓｉｎ（ｍπｘ／ｌ）ｄｘ＝∫ｆ（ｘ）ｓｉｎ（ｎπｘ／ｌ）ｄｘ
　　あるいは　　Ａ_ｎｌ／２＝∫ｆ（ｘ）ｓｉｎ（ｎπｘ／ｌ）ｄｘ
　これより　　Ａ_ｎ＝（２／ｌ）∫ｆ（ｘ）ｓｉｎ（ｎπｘ／ｌ）ｄｘ
　　あるいは　　Ａ_ｎ＝（２／ｌ）∫ｆ（ξ）ｓｉｎ（ｎπξ／ｌ）ｄξ

　よって　解は次のようになる。
　　ｕ（ｘ，ｔ）＝（２／ｌ）Σ〔｛∫ｆ（ξ）ｓｉｎ（ｎπξ／ｌ）ｄξ｝ｓｉｎ（ｎπｘ／ｌ）ｅｘｐ｛−（ｎπｃ／ｌ）^２ｔ〕　　　　　（ｎ＝１，２，．．．）