オイラーの公式

オイラーの公式　ｅ^ｉｘ＝ｃｏｓｘ＋ｉ ｓｉｎｘの証明

ｅ^ｉｘ、ｃｏｓｘ、ｉ ｓｉｎｘをそれぞれテイラー展開してみよう。

　　ｅ^ｉｘ＝１＋ｉ ｘ−ｘ^２／２！−ｉ ｘ^３／３！＋ｘ^４／４！＋ｉ ｘ^５／５！＋．．．

　ｃｏｓｘ＝１　　　−ｘ^２／２！　　　　　　　　＋ｘ^４／４！．．．

ｉ ｓｉｎｘ＝　　ｉ ｘ　　　　　　　−ｉ ｘ^３／３！ 　　　　　　＋ｉ ｘ^５／５！＋．．．

これより和をとると

ｅ^ｉｘ＝ｃｏｓｘ＋ｉ ｓｉｎｘ　となることがわかる。

すなわち

ｅ^ｉｘ＝（１−ｘ^２／２！＋ｘ^４／４！．．．）＋ｉ （ｘ−ｘ^３／３！＋ｘ^５／５！＋．．．）

　　＝ｃｏｓｘ＋ｉ ｓｉｎｘ　となることがわかる。