ｘ＝Ｌ−１｛（２／（ｓ＋２）｝＋Ｌ−１｛（１／（ｓ＋１）｝
＝２ｅ−２ｔ＋ｅ−ｔ
１階の微分方程式 公式 Ｌ（ｅａｔ）＝１／（ｓ−ａ）
各項にラプラス変換する。
Ｌ（ｘ’）＝ｓＸ−ｘ（０）＝ｓＸ−３
Ｌ（２ｘ）＝２Ｘ， Ｌ（ｅ−ｔ）＝１／（ｓ＋１）
∴ ｓＸ−３＋２Ｘ＝１／（ｓ＋１）
（ｓ＋２）Ｘ＝３＋１／（ｓ＋１）＝（３ｓ＋４）／（ｓ＋１）
∴ Ｘ＝（３ｓ＋４）／｛（ｓ＋２）（ｓ＋１）｝
ここで
（３ｓ＋４）／｛（ｓ＋２）（ｓ＋１）｝＝Ａ／（ｓ＋２）＋Ｂ／（ｓ＋１）
とおいて、 ＡとＢを決定する。
それには両辺に（ｓ＋２）（ｓ＋１）をかけて、分母をはらう。
（３ｓ＋４）＝Ａ（ｓ＋１）＋Ｂ（ｓ＋２）
（３ｓ＋４）＝（Ａ＋Ｂ）ｓ＋Ａ＋２Ｂ
ｓについての各係数を比較して
Ａ＋Ｂ＝３， Ａ＋２Ｂ＝４
これを解いて、ＡとＢを求めると、 Ａ＝２， Ｂ＝１
よって Ｘ＝（３ｓ＋４）／｛（ｓ＋２）（ｓ＋１）｝＝２／（ｓ＋２）＋１／（ｓ＋１）
ラプラス逆変換すると
ｘ＝Ｌ−１｛（２／（ｓ＋２）｝＋Ｌ−１｛（１／（ｓ＋１）｝
＝２ｅ−２ｔ＋ｅ−ｔ