ラプラス変換
計算例

1階の微分方程式     公式  L(eat)=1/(s−a)
 x’+2x=e−t,   x(0)=3

 各項にラプラス変換する。
L(x’)=sX−x(0)=sX−3
L(2x)=2X,     L(e−t)=1/(s+1)

∴ sX−3+2X=1/(s+1)
  (s+2)X=3+1/(s+1)=(3s+4)/(s+1)

∴ X=(3s+4)/{(s+2)(s+1)}
 ここで
   (3s+4)/{(s+2)(s+1)}=A/(s+2)+B/(s+1)
 とおいて、 AとBを決定する。
 それには両辺に(s+2)(s+1)をかけて、分母をはらう。
   (3s+4)=A(s+1)+B(s+2)
   (3s+4)=(A+B)s+A+2B
 sについての各係数を比較して
  A+B=3,  A+2B=4
 これを解いて、AとBを求めると、 A=2, B=1
 よって X=(3s+4)/{(s+2)(s+1)}=2/(s+2)+1/(s+1)

 ラプラス逆変換すると
 x=L−1{(2/(s+2)}+L−1{(1/(s+1)}
  =2e−2t+e−t