池戸 P1〜5
Load 荷重
Deformation 変形
Reactive moment 反力モーメント
Guided end ガイド端
Static equilibrium 静的つり合い状態
佐々木 P6〜10
Stress Resultants 内力
Sign Convensions 符号の定義
Statically Determinate Beams 静定梁
Three‐Hinged Arches And Frames 三ヒンジアーチとラーメン
Equilibrium 釣合い条件式
赤山 p11-15
coordinate ; 座標
point of application ; 作用点
intensity ; 強度
resultant ; 合力
overhang ; 張り出し
神山 p.16-20
simple beam with overhangs 2つの張出しをもつ単純梁
internal hinge 内部ヒンジ
triangular load 三角分布荷重
interaction forces 相互作用力
symmetrical circular beam 対称な円形梁
吉原 p21〜25
・conditions of static equilibrium 静的な釣合い条件
・unsymmetrical three-hinged arch 左右非対称３ヒンジアーチ
・geometrically stable or unstable 幾何学的安定や不安定
・statically determinate or indeterminate 静定や不静定
・counterclockwise direction 反時計回り方向
張 p26〜30
Cantilever Beam ；片持ち梁
Simple beam ；単純梁
Concentrated load ；集中荷重
Uniformly distributed load；分布荷重
Linearly varying load；線形変化荷重
Regularly varying load；規則的変化荷重
白岩 P31〜35
SIMPLE BEAM WITH OVERHANG 単純張出し梁
THREE-HINGED FRAME ３ヒンジラーメン
THREE-HINGED ARCH ３ヒンジアーチ
FREE-BODY 自由物体
CROSS SECTION 横断面
齋藤 P36-40
difference equations 微分方程式
integral equations 積分方程式
extreme values 極値
cantilever beam 片持ち梁
stress 応力
戸羽 p41-45
equation 方程式、均衡状態
beam 梁
element 要素、成分
distributed lodos 分配された荷重、分布荷重
diagram 図
大泉 p.46-50
Bending Moment＝曲げモーメント
Positive Shear, Negative Shear＝＋せん断、−せん断
Parabola＝放物線
Simple Beam＝単純梁
Distributed Load, Concentrated Load＝分布荷重、集中荷重
戸塚 p.51-55
Unit length 単位長さ
Static equilibrium 静的平衡
Centroid 図心
Girder 梁
Floor beams 床桁
Normal force 軸力
Distributed load 分布荷重
Stringer 縦桁
藤井 p.56-60
shearing force せん断力
bending moment 曲げモーメント
simple beam 単純ばり
compound beam 複合ばり
reaction 反力
本日の英語訳(p.1-p.5)をお送りいたします。
構造工学研究室 ４年 ３番 池戸
単純な構造の静力学
１．１序論
目的
構造物は荷重を支え、かつ力に抵抗するために設計され構築されたメカニズムで
ある。構造物に関する理論の目的は構成および構造の分析に関する順序正しい研
究である。構造物が作られている要素は棒、板および骨組みである。それらが組
み合わせられ、接続され、支えられる様式は構造の構成として知られている。一
旦種類および形式が選択されていれば、全体の組織およびその各部分を分析しな
ければならない。これは数的に図式に、かつまたは実験的に遂行することができ
る。その分析は内部応力および(要求された位置での)置換が決定されたとき、終
了したとみなされる。
範囲
この体系の中の研究はそれらの荷重および反力で共面の組織を形成して、梁、
アーチ、骨組みおよびトラスの数値解析に制限される。分析される構造は、理想
化された制約に裏付けられ、かつ、想定する象徴的な荷重によって作用されて、
質量中心の軸の一部分によって表わされる数学的なモデルである。
量
分析については、4つの基礎的な量が使われる。
(a)幾何学的な量(座標、線分、角度および断面の特性)
(b)静的な量(荷重、反作用および応力)
(c)変形(質量中心の軸および支持する物の線形と角度の置換)
(d)材料定数(構造物の材料の弾力性や硬さの係数、土台のばね定数および体積の
変化の係数)
仮定
5つの単純化した仮定が、分析の基礎として導入される。
(a) 構造物の材料は均質、等方性、連続的で、またフックの法則に従う。
(b) すべての変形は小さく、構造の初期の形状を(著しく)変更しない。
(c) すべての荷重は徐々に与え、重ね合わせの原理は有効である。
(d) 材料定数は実験と区別でき、時間に依存ない。
(e) 組織は静的な平衡の状態である。
１．２荷重
分類
構造物に作用する力およびモーメントは荷重と呼ばれ、分類される。
単一の荷重
(1) 集中荷重
(2) 適用化されたモーメント
(3) 一様に分布された荷重
(4) 規則的に変化した荷重
(5) 不規則に変化した荷重
荷重の体系
(1) 左右対称的な体系
(2) 逆対称な体系
(3) Cyclo対称な体系
(4) Cyclo逆対称な体系
(5) 非対称の体系
集中荷重Pは、構造物のあるポイントで与えられた単一の力である。(図1-1) こ
の荷重の図式の表現は作用線および意味を示す矢印の直線である。すべての集中
荷重は実は構造物の小さな線分の上の分布荷重である。
適用化されたモーメントQは、構造物のあるポイントで外部モーメントの作用が
適用されていることを表わす。(図1-2) 図式の表現は意味を示す矢印のついた
丸い弧である。
一様に分布された荷重は構造物の一部分の全長あるいは構造物の長さの一部の上
に一様に分布した重量あるいは応力である。(図1-3) 図式の表現は高さp(荷重
の大きさ)と長さdの長方形である。
規則的に変化した荷重は分析的な関数によって定義され変化する重量または応力
である。(図1-4および図1-5) その荷重の図式の表現（荷重図形）は荷重関数
p(x)のグラフおよび軸の一部によって囲まれた面積である。
不規則に変化した荷重は分析的な関数によって定義されないで変化する重量また
は圧力である。(図1-6) 分析については、荷重図形が集中荷重として扱われた
長さ凅の狭い一片に分割される。Pｊ=pj凅、(ｐｊは凾の領域内の荷重の平
均の強さ)。
左右対称的な荷重の体系(図1-7)は各荷重、別の荷重の大きさが同じで意味が対
称的で、そこに存在する力および(または)モーメントの体系で、体系の対称の軸
に関しては第一の荷重と対称である。
逆対象の荷重の体系 (図1-8)は、各荷重、別の荷重の大きさが同じで意味が左右
反対で、そこに存在する力および(または)モーメントの体系で、体系の対称の軸
に関しては第一の荷重と対称である。
Cyclo対称な荷重の体系(図1-9)は、各荷重、別の荷重が自然界の状態に似てい
て、意味は対称的に存在する力および（または）モーメントの体系である。
Cyclo逆対称な荷重の体系(図1-10)は、各荷重、別の荷重が自然界の状態に似て
いて、意味は反対的に存在する力および（または）モーメントの体系である。
非対称な荷重の体系は、ほかのものと特別な関係を持たない力および(または)
モーメントの体系である。どの体系にも区別できない非対称の体系である。
荷重の重ね合せ
構造に関する基本の理論は、荷重の線形の重ね合せの有効性を仮定する。
定義１．１ 合計
荷重の体系の影響は、(別々に適用された)単一の荷重の影響の合計と等しい。
定義１．２ 配置
荷重の体系の影響は、単一の荷重が適用された順序に依存しない。
荷重の影響
構造物に作用する荷重の体系は3つのタイプの効果を発揮する。反作用、応力お
よび変形。これらの量はすべて荷重の機能(それらの大きさ、位置および意味)
と、構造の機能(その幾何学、端の条件および構造材料の特性)である。
１．３ 反作用
分類
支持される点で発揮される力およびモーメントは反作用と呼ばれる。それらは次
のとおりです。反力、反モーメント。
平面では力はいくつもの成分に分解できるが、2つの直角な成分あるいは2つの斜
めの成分によって反力を表わすことは慣習的である。
端の条件
たくさんの反作用は支持のタイプによって決定される。4つの基礎的なケースが
ある。
移動可能なちょうつがいを付けられた端(図1-11)、すなわちローラーは2つの自
由度を持っている。それは、自由にその軸を回転することができる。また、それ
は平面の中で1つの方向を移動することができる。1つだけの反力がローラーで存
在する。この力Rayは、移動の方向に垂直に、またローラーの中心を通って作用
する線に働く。
固定したちょうつがいを付けられた端(図1-12)、すなわちヒンジはただ1つの自
由度を持つ。それは、その軸を自由に回転することができる。しかし、どの方向
にも移動することができない。相互に垂直の２つの反力、Rax とRayがヒンジに
あり、ヒンジの中心を通って作用する線に働く。
支配された端(図1-13)もまた、ただ1つの自由度を持っている。それは、ガイド
レールの軸に沿って自由に滑ることができる。しかし、それは軸の平面の中で回
転することができず、また、ガイドの軸に垂直な方向へ移動できない。反モーメ
ントMabと反力Rabは、支配された端の反応的要素である移動の方向に垂直に働
く。
硬く固定された端(図1-14)、すなわち固定端は、回転や移動の自由が抑制されて
いる。すべて３つの反応的な要素は硬く固定された端では存在する。
これらの4つの典型的な端条件は、めったに純粋な形式で存在しない。派生的な
力やモーメントは留め具、ローラーまたはガイドの摩擦、温度や湿度の変化、組
み立てや建設の不正確さが理想的な条件を変えてしまうことにより生じる。これ
らの力およびモーメントの影響はその後々研究されていくだろう。当面、端条件
はすべて理想的であると仮定される。
１．４ 静的平衡
定義１．３ 体系の平衡
すべての力およびすべてのモーメントの結果が0と等しい場合、構造物の体系は
静的な平衡の状態である。
定義１．４ 体系の部分の平衡
構造物の体系が静的な平衡の状態である場合、どの部分もさらに同じ状態であ
る。
共面の組織に存在するそのような状態では、3つの条件が同時に完了される。
添字xおよびyは軸を表し、力の成分Fx 、Fyに付け加えられる。これらの軸は直
角かもしれないし、直角ではないかもしれない。モーメントの合計Mは、構造の
平面に垂直な任意に選択された軸に関して得られる。
同じ条件は代わりの形式で述べられる。
ここで、i、j、k、任意に選択された3つの異なるモーメントのポールである。
最後に、もし使用される3つの方程式が独立していれば、方程式のこれらの2つの
セットのどんな組み合わせも容認される。
１．５ 応力の合成
構造物の部材LR(Fig.1-15a)が与えられたポイントCで切断され、2つに分離され
る場合、3つの応力(横断面の応力の合成)が、各部分(Fig.1-15b)のカット面の質
量中心で生じる。
垂直力
せんだん力
曲げモーメント
−−−−−−−−−−−−−
英訳Ｐ．６〜１０です。
ＣＬ部分のカット断面での応力は、ＣＲ部分を除いた効果で表される。逆もまた同じである。その結果、それぞれの応力は大きさと同じである。
定義１．５：軸力・軸力Ｎは与えられたセクションのすべての力の総和と、もう一方のセクションに垂直に働いているすべての力の成分の総和と同じである。
定義１．６：セン断力・セン断力は与えられたセクションのすべての力の総和と、もう一方のセクションに平行に働いているすべての力の成分の総和と同じである。
定義１．７：曲げモーメント・曲げモーメントは与えられたセクションのすべての組の総和と、その中心に関してもう一方のセクションに働いているすべての力の静的モーメントの総和と同じである。
１．６ 静定
反力の計算のため、 は使われ（図１−１６）、応力の計算のため、
が使われる（図１−１７）。
定義１．８：反力
（１）Ｘ軸に沿って働くすべての力、または力の成分がもし左から右へ働くなら正であり、右から左へ働くなら負である。
（２）Ｙ軸に沿って働くすべての力、または力の成分がもし上に向かって働くなら正であり、下に向かって働くなら負である。
（３）モーメントは時計回りなら正、反時計回りなら負である。
定義１．９：応力
（１） 伸びの原因となるすべての力は正で、縮みの原因となるすべての力は負である。
（２） 時計回り原因のとなるすべての力は正で、反時計回りの原因となるすべての力は負である。
（３） 底の伸びの原因となるすべての力は正で、頂点の伸びの原因となるすべての力は負である。
１．７ 幾何学的安定と静的限界
定義１．１０：安定構造・
定義１．１１：不安定構造・安定のために十分過ぎる反力がかかっている構造が不安定構造である。
定義１．１２：静的に明解な構造・その反力が静止平衡の方程式から計算することができるなら、その構造は静的に明解な構造である。
定義１．１３：静的に不明解な構造・その反力が静止平衡の方程式だけで計算することができなく、変形条件が考慮されるならその構造は静的に不明解な構造である。
静止平衡のために必要じゃない余分な反力を不静定といい、不静定次数は不静定の数で定義される
ｎ＝ｒ−ｅ−ｆ
ここで、ｎ＝不静定数、ｒ＝反力数、ｅ＝外部の静止平衡の方程式の数、
ｆ＝特別方程式の数
特別方程式は内部条件によって生成された静止平衡の方程式です
単一位相の棒から成っている静的に明確な構造システムは単純構造という。
それらは梁、三ヒンジアーチ、三ヒンジフレームに分けられる。
１．８静的に明解な梁
分類
梁はこのように分類されます
（１） 横断面 （２） （３）スパン数 （４）終了条件
梁の横断面は梁の長さには一定かあるいは可変です。軸は直線、曲線、主柱ラインです。スパン数は梁を単一、あるいは連続的スパンとして定義します。
静定
静的平衡の方程式と特別条件の数が反力数と同じとき
ｒ＝３＋ｆ
梁は静定と言う
静定単一梁は
（a） 片持梁・一方端は自由で、他方は固定
（b） 単純梁・両端固定
（c） 張出し梁
（d） 合成梁・片持梁と単純梁、または張出し梁とをヒンジやガイドで合成したもの。
曲線、主柱梁は張出しと合成物で片持ち梁か単純梁かもしれない。
１．９三ヒンジアーチ
分類
三ヒンジアーチは2本の細い曲がった棒が内部ヒンジと外部ヒンジから構成された構造です。それは横断面や 、また対称で非相称であるものとして内部ヒンジの位置により分類される。
静定
静的平衡の条件数と特別条件の数が同じとき、三ヒンジアーチは静定である。合成三ヒンジアーチは方程式が満たされたとき静定である。
三ヒンジアーチは
（a） 三ヒンジアーチ
（b） 三ヒンジフレーム
（c） 合成三ヒンジアーチ
（d） 合成三ヒンジフレーム
解説
平衡状態―直線棒
１．１単純梁の反力を計算する
支持物の反応的な要素をスケッチし、（正方向を仮定する）静的平衡の方程式を応用する。
結論：大きさの前の負の符号は、RBxの方向が仮定されたものの反対にあることを示す。
１．２片持ち梁の反力を計算する
固定端をRBｘ、RBｙ、MBAに変えて、静的平衡の方程式を適用する。
操作：独立したものは利用できない。平衡の方程式中の代用は算術のみ。
結論：応用の瞬間は、片持ち梁の固定端に反力を生産しません。
１．３単純梁の反力を計算します。
AのローラーとBのヒンジはそれぞれの反力によって、 とってかえられる。
結果：中心座標（左から負荷のかかっているところまで）
--------------------
１１頁−１５頁
画像１
画像２
画像３
--------------
P15
1.9. 図の中で示されるように荷重が与えられて、1つの張出しを備えた単純梁の反力を計算してください。
RBy、RBx、RAy（正と仮定）、傾き荷重Px=6k、Py=8kの成分および一様に分配された荷重W=2(8)=16kの結果から成る固定しない物体の略図を描いてください。次に、静的平衡から、反力を計算してください。
P16
結論：集中荷重によって引き起こされた張出しを備えた単純梁の垂直反力も定式によって直接計算することができます。
RAy = W(b/L), Rby = W(a/L)
ここで、L = 支間長、a = A(右に正)から測定された荷重の位置座標、b = B（左に正）から測定された荷重の位置座標。
注意：図P-1.9cにおいて、aは負。
1.10. 図1.10の中で示される2つの張出しを備えた単純な梁の反応成分を見てください。 荷重のシステムが対称で、それが対称な構造に対称的に置かれるので、反応成分は視覚的に決定することができます。
RBx=0, RAy=RBy=8+120/2=68 k↑
結論：同心的に与えられた荷重の対称なシステムによって作用された2つの張出しを備えた対称な梁の個々の垂直反力は、合計荷重の2分の1と等しい。
1.11. 図1.11aの中で示されるように荷重した合成梁の反力を計算してください。
図1.11aの中で示される梁は4つの反応的な成分を持っています。静的平衡の利用可能な3つの条件および1つの特別の条件（内部ヒンジ点Cの曲げモーメントは0と等しい）があるので、その梁は静的に明確です。分析については、最初に自由な物体の略図AC（図1.11c）およびCD（図1.11b）を分離してください。A、BおよびDの反応的な成分を正とし、また、Cにおける反力も正と仮定します。最後に、2つの成分へ集中荷重を分解して、分配された荷重をその合力に置き換えてください。
略図CDから始め、略図ACを計算します。
問題1.9の中で得られた経験を使用して、以下のようにして垂直の反力を直接計算してください。
結論：内部ヒンジでは、軸力とせん断力が伝えられます。しかし、曲げモーメントは0と等しい。
P17
1.12. 三角荷重によって作用された3つの短い梁01,12,23（側桁）は4つの床の梁0,1,2,3によって支えられています。同様に床梁は、単純な梁AB（主要な大梁）によって支えられています。このシステム（図P-1.12a）の相互作用力および反力を計算してください。
図（P-1.12b,c）の中で示される自由な物体のこのシステムを解決してください。各側桁に荷重（1つの結果による三角形荷重および2つの結果による台形荷重を表わすもの）のそれぞれの結果を置いてください。
さて、図（P-1.12b）の中で示されるような個々の構成要素の荷重図形の質量中心でこれらの結果を適用して、以下のようにして各側桁の垂直の反力を計算してください。
次に、主要な大梁AB（図P-1.12c）の上の集中荷重としてこれらの反力を伝えてください。
最後にこの大梁の反力を計算してください。
交わる荷重だけが存在するので、RBx=0。
結論：側桁から床梁に伝えられる合力、および床梁から主要な大梁、主要な大梁から支柱に伝えられる合力は一定であり、与えられた合力に等しいです。
P18
力のつり合い―――橋脚・ラーメンと曲がった棒
1.13. 図（P-1.13）の中で示されるように荷重が作用している曲がった梁の反力を計算してください。
AとDの反応的な力との自由な物体の略図、三角形荷重の結果および図（P-1.13b）の中で示されるような張出しの静的な相当物を描きます。次に、静的平衡の方程式を導入してください。
結論：3つの反応的な力が複雑な問題では、モーメントの中心（熱j=0）が反応交差の点と一致するべきです。そのような選択は、連立方程式の解決策を回避します。
1.14. 図（P1.14a）の中で示されるように、張出しをもった曲がった棒が荷重が作用されています。ガイド端AおよびローラーBでの反力を計算してください。
ガイドが、セクション1.3（図1-13を参照）に示されるような2つの反応（RAxとMAB）を生じさせることに注意してください。自由な物体（図P-1.14b）として全システムをとってみる。
結論：
（1）反力の線の交点に位置した1点がこの梁の平面上にあります。それは基準地点として用いられると、静的平衡の方程式の直角な形を作り出します。
（2）この点は‘the static center’と呼ばれています。
1.15. 図（P-1.15a）の中で示されるように対称的に荷重が作用した対称な円形の梁の反力を計算してください。
スパンの長さに沿って作用する強度pの一様に分配された荷重は、AとBで反応的な力RAおよびRBをそれぞれ生じさせます。RAの方向はAでローラーの位置によって管理されます。しかし、RBの方向は未知で、2つの未知の成分によって表わされなければなりません。3つの未知の反応で、その問題は静的に明確です。便宜上、図（P-1.15b）の中で示されるようにRAは解決されます。
結論：対称で曲がった単純梁が対称的に荷重が作用する場合、反応的な要素は対称です。（つまり、ローラーおよびヒンジの力の配置は同じです。）
1.16. 図（P-1.16a）の中で下に示されるように反対称に荷重が作用した対称な円形梁の反力を計算してください。
問題1.15の第1の部分で導入された推論に続いて、RAx=RAcosα、Ray=RAsinα（図P-1.16b）、およびRBx(未知のものとしてのRBy)を選択してください。
図（P-1.16c）は結果RA、RBおよびそれらの成分をそれぞれ示します。
結論：
（1）対称な曲がった単純梁が反対称にある場合、反力成分は反対称です。（この意味は、ローラーとヒンジの力は同じであるが、配置は反対の機能があります。）
（2）非対称の軸はスパンの中心を通って、ローラーおよびパスの基礎に垂直です。
力のつり合い―――3ヒンジのアーチおよび構造
1.17. 図P-1.17aの中で示されるように荷重が作用した3ヒンジアーチの反力を計算してください。
合力RAおよびRBの方向が解ってないので、4つの反応的な成分RAx、RAy、RBx、Rby（図P-1.17a）を仮定します。
静的平衡、およびC点におけるヒンジの特別な条件、Mc=0の3つの条件から、これらの成分を計算します。
−−−−−
21ページから25ページまで
平衡―３ヒンジのアーチとフレーム
１．１７． 表P-1.17aに示す3ヒンジアーチに作用する荷重の反力の計算
載荷した結果生じる反力RA、RBの方向がわからないので、４つの反力成分RAx、
RAy、RBx、RByを仮定する。静的な力の釣合い条件と、C点のヒンジにおける特殊条件
(MC = 0)から、それらの成分について計算する。
MB = 0 , RAy(L) − P(b) = 0 ,
RAy = Pb / L ↑ (1)
MA = 0 , −RBy(L) ＋ P(b) = 0 ,
RBy = Pa / L ↑ (2)
表P-1.17bより、
MC = 0 , −RAx(h) ＋ RAy(L / 2) = 0
(1)式よりRAyが与えられるので、
RAx = Pb / 2h → (3a)
結局、下式のように表わせる。
F = 0 , RAx ＋ RBx = 0 , RBx = −Pb / 2h
また、(3a)の式は右側のスケッチより
MC = 0 , −RAx(h) ＋ P(L / 2 − b) − RBy(L / 2) = 0 (3b)
RBy = Pa / L と L / 2 − b = (a − b) / 2 より RAx = Pb / 2h
これは(3a)の式と同じ意味である。
拘束：
Fy = 0 , RAy ＋ RBy − P = 0
結論：
[1]垂直荷重が作用することで左右対称の３ヒンジアーチに生じる垂直反力は、同
じ長さの単純梁に同様の荷重が作用した場合と同じように生じる。
[2]同じ構造系の水平反力RAx =−RBxは、単純梁（同じ長さで、同様に載荷したも
の）中央の曲げモーメントをアーチの高さｈで割った値と等しくなる。
１．１８．左右非対称の３ヒンジアーチに
鉛直集中荷重がひとつ作用するとき(表P-1.18a)の反力の計算
未知の反力RA、RBを構成成分RAx’RAy’RBy’RBy’に分けて解析する。この斜めの
分力は、静的な釣合いを示すそれぞれの方程式の中の構成成分が独立して加わること
を許す。
Fｘ’ = 0 , RAx’ = RBx’
MB’ = 0 , RAy’ = Pb / L↑
MA’ = 0 , RBy’ = Pa / L↑
内部ヒンジの特殊条件より、
MC’ = 0 , RAy’c1 − RAx’f cosα = 0 , RAx’ = Pbc1 / (Lf cosα)
表P-1.18b,cより、
RAy = RAy’ ＋ RAx’ sinα = (Pb / L ＋ Pbc1 / Lf tanα)↑
RBy = RBy’ − RBx’ sinα = (Pa / L − Pbc1 / Lf tanα)↑
RAx = RAx’ cosα = Pbc1 / Lf →
RBx = RBx’ cosα = Pbc1 / Lf ←
拘束：
Fy = 0 , RAy ＋ RBy − P = 0 .
結論：
[1]左右非対称3ヒンジアーチに垂直荷重が作用することで生じる垂直構成成分RAy
’、RBy’は、単純梁（同じ長さで、同様に載荷したもの）の垂直構成成分と等し
い。
[2]同じ構造系の水平反力RAx =−RBxは、単純梁（同じ長さで、同様に載荷したも
の）のx=c1の点における曲げモーメントをｆで割った値と等しくなる。
１．１9． 左右非対称の３ヒンジアーチに
水平集中荷重がひとつ作用するとき(表P-1.19a)の反力の計算
構成成分に分けて未知の反力RA、RBについて解析する。この水平荷重は構造物を左
側へ移動させ、また、反時計回り方向に回転させる性質を持つので、右端の反力を図
P-1.19aに示すように仮定する。
MB’ = 0 , RAy’ = Pg / L↑
MA’ = 0 , RBy’ = Pe / L↑
内部ヒンジの特殊条件より、
MC’ = 0 , RAy’c1 − RAx’f cosα = 0 , RAx’ = Pgc1 / (Lf cosα)
静的な釣合いの３つの条件より、
Fx’ = 0 , RAx’ ＋ RBx’ − P / (cosα) = 0 , RBx’ = Pec2 / (Lf cosα)
表P-1.19b,cより、
RAy = RAy’ ＋ RAx’ sinα = Pg / L ＋ Pgc1 / Lf tanα↑
RBy = RBy’ − RBx’ sinα = Pe / L − Pec2 / Lf tanα↓
RAx = RAx’ cosα = Pgc1 / Lf →
RBx = RBx’ cosα = Pec2 / Lf →
拘束：
Fy = 0 , RAy − RBy = 0 .
さらに、 Lf = gc1 ＋ ec2 かつ (g − e) / L = −tanα.
結論：
もし、 c1 = c2 = L / 2 かつ e = f = g ならば
RAx = RBx = P / 2 , RAy = −RBy = Pe / L
１．20． 表P-1.20に示す左右対称の３ヒンジフレームに作用する荷重の反力
の計算
Fｘ = 0 , RAx ＋ RBx − 55 = 0
MB = 0 , RAy(80) − 20(75) − 10(5) − 55(30) = 0 , RAy = 40k
MA = 0 , −RBy(80) − 55(30) ＋ 10(75) ＋ 20(5) = 0 , RBy = −10k
特殊条件MC = 0 より、
40(40) − RAx(40) − 20(35) = 0 , RAx = 22.5ｋ
10(40) − RBx(40) ＋ 10(35) ＋ 55(10) = 0 , RBx = 32.5k
拘束：
Fｘ = 0 , RAx ＋ RBx − 55 = 0 .
Fy = 0 , RAy ＋ RBy − 30 = 0 .
結論：
[1]垂直荷重による垂直反力は、単純梁（同じ長さで、同様に載荷したもの）にお
ける垂直反力と等しい。
[2]水平荷重による垂直反力は、単純梁（同じ長さで、一組の同等量の荷重を載荷
したもの）における垂直反力と等しい。
１．21． 定義づけ1.10, 1.11, 1.12, 1.13に従っての幾何学的安定・不安
定や、静定・不静定といった分類（表P-1.21）
r = 反力の数 e = 外的静定の平衡数 f = 特別な平衡数 n = 不静定次数
(a) A(ヒンジ) B(ローラー) C(フィックス)
r = 2 ＋ 2 ＋ 3 = 7
e = 3 , f = 0 , n = 7−3 = 4.
∴四次不静定で幾何学的に安定
(b) A(フィックス) B(ヒンジ) C(フリー)
r = 3 ＋ 2 ＋ 0 = 5
e = 3 , f = 0 , n = 5−3 = 2.
∴二次不静定で幾何学的に安定
(c) A(ヒンジ) C(ヒンジ) D(ヒンジ)
r = 2 ＋ 2 ＋ 2 = 6
e = 3 , f = 1(Bにおける内部ヒンジ) , n = 6−3−1= 2.
∴二次不静定で幾何学的に安定
(d) A(ガイド) D(フィックス)
r = 2 ＋ 3 = 5
e = 3 , f = 0 , n = 5−3 = 2.
∴二次不静定で幾何学的に安定
(e) A(フィックス) E(フィックス)
r = 3 ＋ 3 = 6
e = 3 , f = 3(B,C,Dにおける内部ヒンジ) , n = 6−3−3 = 0.
∴静定で幾何学的に安定
(f) A(ヒンジ) B(ガイド)
r = 2 ＋ 2 = 4
∴X方向に幾何学的に不安定なので荷重を支えるのに不向き
(g) A(フィックス) C(フィックス)
r = 3 ＋ 3 = 6
e = 3 , f = 1(Bにおける内部ガイド) , n = 6−3−１= 2.
∴二次不静定で幾何学的に安定
(h) A(フィックス) C(ローラー)
r = 3 ＋ 1 = 4
e = 3 , f = 0 , n = 4−3 = 1.
∴一次不静定で幾何学的に安定
(i) A(フィックス) D(フィックス)
r = 3 ＋ 3 = 6
e = 3 , f = 2(B,Cにおける内部ヒンジ) , n = 6−3−2 = 1.
∴一次不静定で幾何学的に安定
(j) A(フィックス) B(フィックス)
r = 3 ＋ 3 = 6
e = 3 , f = 0 , n = 6−3 = 3.
∴三次不静定で幾何学的に安定
(k) A(ヒンジ) B(ヒンジ)
r = 2 ＋ 2 = 4
e = 3 , f = 0 , n = 4−3 = 1.
∴一次不静定で幾何学的に安定
(l) A(フィックス) C(フィックス)
r = 2 ＋ 2 ＋ 3 = 7
e = 3 , f = 1(Bにおける内部ガイド) , n = 6−3−1 = 2.
∴二次不静定で幾何学的に安定
(m) A(ガイド) C(ガイド)
r = 2 ＋ 2 = 4
e = 3 , f = 1(Bにおける内部ヒンジ) , n = 4−3−1 = 0.
∴静定で幾何学的に安定
(n) A(フィックス) C(フィックス)
r = 3 ＋ 3 = 6
e = 3 , f = 1(Bにおける内部ヒンジ) , n = 6−3−1 = 2.
∴二次不静定で幾何学的に安定
(o) A(ローラー) B(フィックス)
r = 1 ＋ 3 = 4
e = 3 , f = 0 , n = 4−3 = 1.
∴一次不静定で幾何学的に安定
(p) A(フリー) B(ローラー) C(ローラー) D(ローラー) E(ローラー) F(フリー)
r = 0 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 0 = 4
∴X方向に幾何学的に不安定なので荷重を支えるのに不向き
(q) A(フリー) B(ヒンジ) D(ヒンジ) E(ヒンジ) G(ヒンジ) H(フリー)
r = 0 ＋ 2 ＋ 2 ＋ 2 ＋ 2 ＋ 0 = 8
e = 3 , f = 2(C,Fにおける内部ヒンジ) , n = 8−3−2 = 3.
∴三次不静定で幾何学的に安定
(r) A(フィックス) B(ローラー) C(ローラー) D(ローラー) E(ローラー) F(フィッ
クス)
r = 3 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 3 = 10
e = 3 , f = 0 , n = 10−3 = 7.
∴七次不静定で幾何学的に安定
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２５頁−３０頁
釣り合いー片持ち梁
1.22 図1-22示したような集中荷重をかけた場合の片持ち梁の支持反力Rrx、Rryと曲げモーメントMrlを計算する。
1.23 図1-23示したような等分布荷重をかけた場合の片持ち梁の支持反力Rrx、Rryと曲げモーメントMrlを計算する。
1.24 図1-24示したような線形変化荷重をかけた場合の片持ち梁の支持反力Rrx、Rryと曲げモーメントMrlを計算する。
1.25 図1-25示したような正規化荷重をかけた場合の片持ち梁の支持反力Rrx、Rryと曲げモーメントMrlを計算する。
釣り合いー単純梁
1.26 図1-22示したような集中荷重をかけた場合の単純梁の支持反力Rly、Rryを計算する。
ただしRrx=0である。
1.27 図1-23示したような等分布荷重をかけた場合の単純梁の支持反力Rly、Rryを計算する。ただしRrx=0である。
1.28 図1-24示したような線形変化荷重をかけた場合の単純梁の支持反力Rly、Rryを計算する。ただしRrx=0である。
1.29 図1-25示したような正規化荷重をかけた場合の単純梁の支持反力Rly、Rryを計算する。ただしRrx=0である。
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３１頁−３５頁
張りだし梁のつり合い
1.30 単純張りだし梁の反力ＲＬｙ，ＲＲＹの計算は表P-1.30のようにあらわ
すことができる。
三ヒンジのラーメンのつり合い
1.31 対称の三ヒンジフレームの反力ＲＬｘ,ＲＲｘ,ＲＬｙ,ＲＲｙは表P-1.31
のようにあらわすことができる。
三ヒンジのアーチのつり合い
1.32 対称の三ヒンジアーチの反力ＲＬｘ,ＲＲｘ,ＲＬｙ,ＲＲｙは表P-1.32のよう
にあらわすことができる。
梁中の応力
2.1 応力解析
直線の梁の応力解析は4ステップで要約することができます:
(1) 反応の計算。
(2) 応力方程式を書くこと。
(3) 応力図をかくこと。
(4) 極端な応力の位置測定。
構造材料の許容応力度と応用の荷重を十分考えた応力と比較する場合、目標が遂行さ
れます。多くの場合では、中間のステップ2および3は除去することができます、そし
て、極値が生じる横断面は立合い検査によって判断される。
2.2 自由物体のスケッチ
梁の横断面に作用する応力は好都合なことに下の条件の自由物体のスケッチによって
調べることができる。
(1) 全体の梁
(2) セグメント(部分、線形)の梁
(3) 違う要素の梁
部分の自由物体のスケッチは、与えられた距離で梁を切り離した、2つの想像上のセ
クションを渡すことにより得られます。その後、それに作用するすべての力の完全で
正確な値が得られるように、このセグメントは分離されます。これは知的(式だけ)に
行うことができます。しかし、図入りの表現は常に望ましい(Fig.2-1a)。それぞれの
断面の応力はNL,VL,ML,そしてNR,VR,MRと指定されます。その中でLおよびRが左およ
び右に委託する添字は、それぞれ左端、右端をいみします。LとRの間に作用する荷重
は、構成要素(Fig.2-1b、c)へ分解され、静力学によって端応力と関係がある。これ
は、2セットの方程式の形式をとります。
左の端応力の方程式:
右の端応力の方程式:
ここで、
,,,=荷重の構成要素
a,b,c,x=左からの位置座標
a’,b’,c’,x’=右からの位置座標 をあらわします。
これらの方程式は全体の梁や部分的な梁に適応できる。それらは応力方程式や応力図
を書くための数学的なモデルである。自由物体のスケッチの準備では、3つの規則が
不可欠です:
(1) 荷重はすべてそれらの与えられた角度へ作用してあらわす。
(2) 既知の応力はすべてそれらの既知の角度へ作用してあらわす。
(3) 未知の応力はすべて正と想定する(定義1.9)。
2.3 応力方程式
応力変化の代数の解釈は応力方程式と呼ばれます。この変化は１つの変化率と1つの
方程式、それかいくつかの変化率(または急な変化)のどちらかに左右される。また各
応力のいくつかの方程式、各類似した梁の特定の一部によって表される。
これらの方程式はたいてい位置座標ｘで表され、左端から梁の軸に沿って測られる。
それか、ｘ’で表され、同じく梁の軸に沿って測られる。しかし、このときは反対の
方向右端からである。ある場合には、出発点として中間の切断面(スパン内の)を選択
することが有利かもしれません。
切断面の応力の値は、応力方程式中のその位置座標の代用により得られます。応力の
絶対値は、測られた位置座標と調査が進んだ方向に依存されない。
2.4 応力図
応力変位を図で表現することは応力の値がある垂直な縦座標と水平座標が横断面図に
位置が与えられた応力図として知られている。図形の範囲は、0の線および応力の線
(一般的な力の線、せん断力の線および曲げモーメントの線)によって囲まれます。
2.5 差異と差分方程式
差の要素ｄｘは荷重のかかった直線状の棒をきった2つの隣接した切断図によって拘
束され、左側の要素の応力はN，V，M、右側の応力はN+dN，V+dV，M+dMとあらわされ
る。この要素によって書かれた静的で平衡な３つの方程式は3つの差異と差分方程式
で表される。
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４１頁−４５頁
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大泉
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